jueves, 17 de agosto de 2017

Tus parejas han tenido más parejas que tú


Esta es la llamada paradoja de la amistad, que paso a explicar.

Tengamos un grupo de 10 personas numeradas del 1 al 10. Del 1 al 9 todas tienen como amigo al 10 y a nadie más que el 10, mientras que el 10 tiene como amigos a todos (suponemos que la amistad siempre es recíproca). De esta manera hay 9 personas que tienen un amigo y una persona que tiene 9, La media de amistades es (9x1+1x9)/10 = 1,8.

Pero si ahora contamos la media que tienen los amigos de estas 10 personas la cosa cambia. Del 1 al 9 tienen amigos cuya media de amistades es 9 (su único amigo es el 10, que tiene 9 amigos). La media de amigos de los amigos del 10 es 1. Así que la media de amigos que tienen los amigos de este grupo es (9x9+1x1)/10 = 8,2.

Esto es así con cualquier manera en que puedan ser las relaciones de amistad mientras haya alguien que tenga más amigos que los demás. La razón, creo que se ve claro, es que es más probable ser amigo de alguien que tiene muchos amigos que de alguien que tiene pocos. También vemos que, en la media de amistades de amigos, la persona número 10 aparece muchas veces (en cada una de las personas del 1 al 9).

Por supuesto es una media estadística que se cumple en términos generales, no para todos los casos. En el ejemplo tenemos 9 personas cuyos amigos tienen más amigos que ellas de media, mientras que tenemos a una persona cuyos amigos tienen menos amigos que ella.

Así que ya sabéis, lo más probable es que se cumplan estas proposiciones, siempre en promedio (léase en voz alta para mayor escarnio propio):

-Mis amigos tienen más amigos que yo.
-Mis parejas han tenido más parejas que yo.
-Mis conexiones de linkedin tienen más conexiones que yo.
-Mis familiares tienen más familiares que yo.
-Aquellos a quienes sigo en twitter tienen más seguidores que yo.
-Los blogs en los que comento reciben más comentarios que el mío.
-Los escritores que leo tienen más lectores que yo.

Después del escarnio propio, veamos el lado reconfortante. Si bien es cierto que, en media, mis amigos tienen más amigos, no es cierto que la mayoría de mis amigos tengan más amigos que yo. Ocurre muy a menudo que son esos pocos amigos muy populares los que hacen subir la media. En nuestro ejemplo vemos que la mayoría de los amigos de cualquiera de las personas de 1 a 9 tienen tantos amigos como ella, mientras que solo uno (el 10) tiene más.

Si nos tomamos la molestia de repetir las operaciones con el grupo de la figura veremos que la media de amigos es 2,85, mientras que la media de amigos de los amigos es 3,39. Sin embargo, para la gran mayoría de los 20 del grupo se cumple que el número de amistades con más amigos que uno mismo es una minoría.

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Hace tres años en el blog: O ano da morte de José Saramago.
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miércoles, 16 de agosto de 2017

Al monte se va con botas. La paradoja de Moore.

Nos recuerda Jesús, en su barco, la paradoja de Moore. Hela aquí en sus términos:

Considérense estas dos proposiciones, "Grecia saldrá del euro antes de 2015" y "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro antes de 2012". ¿Son estas dos proposiciones lógicamente contradictorias? No, porque AMBAS pueden ser verdaderas a la vez. En cambio, supongamos que Solbes dice "Grecia saldrá del euro antes de 2015, pero yo creo que no". Esto sí que suena a paradoja, o sea, a autocontradicción, ¿verdad? Pero, ¿Cómo puede uno cometer una contradicción afirmando dos proposiciones que no son contradictorias?

Esta es mi contestación:

Querer manejar saberes y creencias con solo lógica proposicional nos lleva a eso. Al monte se va con botas, y para manejar creencias hacen falta más cosas. Hay varias maneras, uno puede definir varios operadores, uno que signifique "saber" y otro "creer", con axiomas distintos, pero eso es en general bastante insatisfactorio. En alguna parte debería entrar la incertidumbre que separe creencias de saberes. Si no, acaban siendo lo mismo y entonces las dos proposiciones primeras sí son contradictorias. Una vez que introducimos incertidumbre tenemos probabilidades y todo lo que eso conlleva (en particular el no liarse con la lógica proposicional para hacerle decir lo que no dice).

Una manera (no la única) de tener un modelo formal del asunto sería lo siguiente:

Ejemplo bayesiano de modelización: Antes de tener ninguna información, Grecia saldrá del euro o no con probabilidades 1/3, 2/3, respectivamente. En estas condiciones Sobes cree que no saldrá (la probabilidad es mayor).

Ahora puede haber una información que indique que la situación de Grecia es peor de lo que se pensaba, de manera que la probabilidad de que salga del euro antes de esa fecha es del 100%, pero Solbes ignora esa nueva información. Claramente se cumple que "Grecia saldrá del euro..." y que "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro...".

En cambio, si Solbes dice "Grecia saldrá ... y yo creo que Grecia no saldrá..." estará incurriendo en contradicción, pues si tiene información para afirmar lo primero no puede afirmar también lo segundo. Por lo menos, no para cualquier sentido razonable que asignemos a esas proposiciones.

El verdadero problema es el de buscar una manera interesante y rigurosa de definir "saber" y "creer". Sostengo que esa manera interesante debe incluir considerar probabilidades y que todas las discusiones desde la lógica proposicional que las ignore están abocadas a la confusión. Una vez tengamos esto podremos resolver la paradoja. También podremos tener definiciones que la mantengan, pero tal vez no sean las interesantes.

martes, 15 de agosto de 2017

Atrevida ignorancia


Una alumna me llama la atención por el artículo en El País sobre el anumerismo. Entre otras cosas se citan varios ejemplos de cómo el analfabetismo numérico nos puede hacer tomar malas decisiones. En particular se trata el famoso caso de las tres puertas, conocido como el problema de Monty Hall. Aquí lo expliqué con cierto detalle.

No interesa repetirlo ahora. Basta con decir que la respuesta al problema es una, mientras que la que parece intuitiva a la inmensa mayoría de la gente es otra. Hasta aquí todo bien, una paradoja más. Lo curioso es que el artículo de El País tiene más de 600 comentarios, la mayoría discusiones en torno a qué respuesta es la buena.

Llegados a este punto, uno (yo) no sabe qué pensar. Razonar una respuesta en ese problema requiere unos conocimientos mínimos de probabilidades. Quienes intentan razonar la respuesta intuitiva no tienen tales conocimientos. Si los tuvieran, habrían entendido la explicación correcta. Es más, lo más seguro es que ya la conocerían, puesto que el problema es un clásico en probabilidad y se enseña en todas partes. Así las cosas, ¿por qué tanta gente razona, hasta enfadada y con malas palabras, que la respuesta buena es la equivocada?

1. ¿Acaso no saben que sus conocimientos de probabilidad son muy limitados? (Atrevida ignorancia).

2. ¿Acaso creen que todos los que sí saben de probabilidad están engañados?

3. ¿Por qué no dedican unos segundos a buscar en google algo sobre el tema? Les hará ver, por lo menos, que los que se empeñan en mostrarles la solución correcta en los comentarios de El País no son unos locos que pasaban por ahí.

4. ¿Son gente a la que les importa un bledo la respuesta y solo quieren llamar la atención?

5. ¿Alguna otra sugerencia?

lunes, 14 de agosto de 2017

Qué no dice el teorema de Gödel


En la entrada anterior repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos.

1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial.

Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente.

El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una parte, no habría problemas para aceptar que una máquina pueda saltar de un sistema a otro. Por otra, la mente humana es finita y nunca podrá saltar indefinidamente de un sistema a otro. Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo. Simplemente se salta indefinidamente.

2. El teorema de Gödel no establece un dominio de la realidad que sea inaccesible a la mente humana.

Hay dos problemas históricos en la filosofía de la ciencia o del conocimiento. El primero es el problema de la realidad exterior: ¿existe? ¿es como se nos aparece? La ciencia no trata este tema ni, como se suele afirmar, lo supone a priori. Simplemente se dedica a dar cuenta de las regularidades que se nos aparecen en esta acaso apariencia de realidad exterior. Que haya tales regularidades no es ningún fundamente metafísico de la ciencia sino una constatación empírica.

El segundo problema es el de las otras mentes. No tenemos acceso al mundo de sensaciones, sentimientos, pensamientos,... que ocurren en las otras mentes. Ni siquiera tenemos constancia de que existan las otras mentes. Para esto último tenemos el test de Turing: las otras mentes lo pasan sin problema. Para saber de sensaciones y pensamientos no tenemos nada más que la posible empatía por pertenecer a la misma especie.

Quienes ven en el teorema de Gödel un nuevo límite a nuestro conocimiento de la realidad confunden el modelo con la realidad. Si la realidad es finita, por ejemplo, inmediatamente tenemos que no responde a los supuestos del teorema de Gödel y nada de lo que dice el teorema se aplica en ella.

Un  momento, dirá alguno, el sistema formal de las matemáticas está dentro de la realidad y, por tanto, todo lo que pase en ese modelo será parte de la realidad. Sí y no. Sí en un sentido débil, digamos. Es una parte de la realidad que podríamos decir creamos los seres inteligentes. No en un sentido fuerte, puesto que las matemáticas no son nada creado de verdad. Es decir, no hay nuevas partículas elementales, por ejemplo. Lo que hay es un juego inventado, un deducir cosas de acuerdo con unas reglas. Ocurre simplemente que con ciertas reglas no se puede llegar a establecer un valor de verdad a ciertas posiciones del juego. Que ese juego nos sirva a los mortales para interpretar cosas de la realidad es algo ajeno a la realidad.

Pero tampoco dice que no podamos entender la realidad, puesto que incluso si fuera pequeña, finita y abarcable al ser humano podríamos seguir construyendo modelos formales con teoremas de Gödel. Así que el problema que pueda plantear el teorema no es sobre la realidad, sino sobre las reglas deductivas, que no llegan a construir según qué enunciados.

¿Cómo cabe un sistema formal que contienen los números naturales, que son infinitos, en un mundo finito?

Sólo el darse cuenta de lo anterior debería ser suficiente para mostrar que los números naturales (así como los sistemas que los contienen) no existen más que como construcción nuestra y ciertamente nunca los construiremos todos. Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, no porque los hayamos escritos todos. Es la potencia del argumento recursivo lo que se limita en el teorema de Gödel, nada más. Las verdades de la ciencia siguen siendo las mismas, las establecidas empíricamente.

domingo, 13 de agosto de 2017

Qué dice el teorema de Gödel


Euclides basó toda la geometría griega en cinco postulados:

1. Por dos puntos solo pasa una recta.
2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.
3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela.

Durante mucho tiempo se pensó que el quinto postulado era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta).

Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.

La respuesta de Gödel es inquietante: Cualquier sistema formal consistente (que no contenga contradicciones) que permita describir la aritmética será necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones que se puedan expresar en el lenguaje del sistema cuya veracidad o falsedad no se puedan demostrar en ese sistema.

Demostrar una afirmación (o su negación) significa que, manipulando los símbolos del sistema según sus reglas, se puede construir tal afirmación (o su negación). Podría ser posible demostrar esa afirmación (o su negación) en otro sistema formal, pero ese otro sistema tendría, según el teorema, sus propias proposiciones indemostrables dentro de él.

Gödel demuestra su teorema haciendo ver que en un sistema formal T que reúna las características pedidas es posible enunciar una proposición X que diga lo siguiente: "La proposición X no es demostrable dentro del sistema T". Si la proposición X fuera demostrable, tendríamos una contradicción (sería demostrable porque la hemos demostrado, y no demostrable porque es lo que dice la proposición). Pero como no es demostrable, la proposición es cierta, porque dice justamente eso.

El teorema de Gödel dice, entonces, un par de cosas más. La primera es que existen proposiciones ciertas cuya veracidad no es demostrable dentro del sistema. La segunda es que hay que distinguir entre proposiciones bien construidas dentro de un sistema (las que se demuestran) y verdades deducidas fuera del sistema.

La veracidad de la proposición X se ha establecido fuera del sistema T. Se suele referir a esto como "saltar del sistema". Podemos ahora añadir esa proposición X al conjunto de axiomas del sistema T, pero entonces el sistema se habrá convertido en otro sistema, el T', que tendrá su propia proposición indecidible (indemostrable) X' que dirá "X' no puede demostrarse dentro del sistema T'.

Así pues tenemos que los sistemas formales que puedan describir los números serán necesariamente incompletos. Habrá proposiciones indecidibles. Las matemáticas no pueden ser completas.

No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa.

sábado, 12 de agosto de 2017

Resuelto el enigma de la isla de los fidelios


En la entrada anterior planteaba el caso de la isla de los fidelios. Para entender las razones de lo allí ocurrido conviene plantearse un caso más sencillo, que es siempre buen consejo para resolver problemas difíciles.

Pongamos que solo hubiera un hombre infiel. Tendríamos 49 mujeres que sabrían que el marido de la número 50 le era infiel, mientras que la mujer número 50 sabría que los 49 hombres que no son su marido son fieles a sus esposas. Si en esta situación llega el misionero y anuncia que hay al menos un hombre infiel, esta mujer número 50 deberá concluir que su marido es el infiel. Lo mataría esa noche y al día siguiente aparecería en el periódico de la isla.

Pongamos ahora que hubiera dos hombres infieles. 48 mujeres sabrían de dos hombres infieles y dos mujeres sabrían de un hombre infiel. Cada una de estas dos mujeres pensará que si su marido es fiel, la otra no estaría viendo ningún hombre infiel, así que, según el caso anterior, deberá matarlo tras el sermón del misionero. Como no lo hace y no aparece la noticia al día siguiente sólo puede ser porque está esperando a ver qué hace la otra y eso es porque ve un hombre infiel, así que estas dos mujeres matan a sus maridos la segunda noche.

Podemos seguir con tres, cuatro, ... cincuenta hombres infieles y el resultado es siempre así: si hay X hombres infieles morirán la noche número X.

¿Por qué hay que esperar a que el misionero diga nada, si ya se sabía que había hombres fieles?

Esto es un poco más sutil de entender. En el caso de un hombre infiel está claro que no todas las mujeres sabían que "hay al menos un hombre infiel" y entonces está claro que añade una información importante.

¿Qué pasa si hay dos hombres infieles? Es cierto que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel", pero ocurre que hay dos mujeres que no saben que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel". Son las parejas de los dos hombres infieles, sean las números 49 y 50. La 49 no sabe que la 50 sabe que "hay al menos un hombre infiel" y eso sigue así hasta que llega el misionero con su sermón. Sólo en ese momento puede empezar el razonamiento si no lo mata el primer día.

Cuando hay 50 hombres infieles todas saben que todas saben que todas saben (así hasta 49 veces) que "hay al menos un hombre infiel", pero no saben que todas saben que todas saben (así hasta 50 veces) que "hay al menos un hombre infiel".

El saber que todos saben que todos saben (así todas las veces que uno quiera) una proposición K es lo que se llama "conocimiento común" de la proposición K. El ejemplo de la isla de los fidelios debe dejar clara la necesidad de que ciertas cosas sean de conocimiento común para poder tomar decisiones.

Aquí hay otro ejemplo interesante.

viernes, 11 de agosto de 2017

La isla de los fidelios


En la isla de los fidelios habitan 50 parejas heterosexuales. Aislada del resto del mundo, tienen una curiosa ley: toda mujer que sepa que su pareja le es infiel debe matarla esa misma noche. La ley es tan tajante como aceptada por todas las mujeres, de manera que cada una de ellas no solo sería capaz de matar a su marido infiel sino que querría hacerlo. El periódico de la isla tiene la obligación de informar cada día del número de maridos muertos la noche anterior.

Como en cada pequeña población cada cual sabe todo sobre los demás, pero no necesariamente sabe todo lo que le afecta a uno mismo. En particular, cada mujer sabe si la pareja de cada una de las demás es infiel o no, pero no sabe si la suya lo es.

En esta situación llevan viviendo sin que la ley se haya tenido que aplicar nunca.

Un día llega un misionero a la isla. Enseguida se entera de la situación de la isla y oye en confesión ciertas cosas que le llevan a decir lo siguiente en el sermón del domingo:
-"Habitantes de Fidelia. He sabido, para mi desmayo, que en esta isla aparentemente feliz se esconde el pecado. Hay por lo menos un hombre infiel. Esto debe terminar."
Cincuenta días después se lee en el periódico de la isla que cincuenta maridos han muerto a manos de sus mujeres la noche anterior.

¿Por qué? ¿Cómo supo cada mujer que su marido era infiel? ¿Por qué no lo supieron antes? ¿Qué ha hecho el sermón del misionero?