jueves, 17 de agosto de 2017

Tus parejas han tenido más parejas que tú


Esta es la llamada paradoja de la amistad, que paso a explicar.

Tengamos un grupo de 10 personas numeradas del 1 al 10. Del 1 al 9 todas tienen como amigo al 10 y a nadie más que el 10, mientras que el 10 tiene como amigos a todos (suponemos que la amistad siempre es recíproca). De esta manera hay 9 personas que tienen un amigo y una persona que tiene 9, La media de amistades es (9x1+1x9)/10 = 1,8.

Pero si ahora contamos la media que tienen los amigos de estas 10 personas la cosa cambia. Del 1 al 9 tienen amigos cuya media de amistades es 9 (su único amigo es el 10, que tiene 9 amigos). La media de amigos de los amigos del 10 es 1. Así que la media de amigos que tienen los amigos de este grupo es (9x9+1x1)/10 = 8,2.

Esto es así con cualquier manera en que puedan ser las relaciones de amistad mientras haya alguien que tenga más amigos que los demás. La razón, creo que se ve claro, es que es más probable ser amigo de alguien que tiene muchos amigos que de alguien que tiene pocos. También vemos que, en la media de amistades de amigos, la persona número 10 aparece muchas veces (en cada una de las personas del 1 al 9).

Por supuesto es una media estadística que se cumple en términos generales, no para todos los casos. En el ejemplo tenemos 9 personas cuyos amigos tienen más amigos que ellas de media, mientras que tenemos a una persona cuyos amigos tienen menos amigos que ella.

Así que ya sabéis, lo más probable es que se cumplan estas proposiciones, siempre en promedio (léase en voz alta para mayor escarnio propio):

-Mis amigos tienen más amigos que yo.
-Mis parejas han tenido más parejas que yo.
-Mis conexiones de linkedin tienen más conexiones que yo.
-Mis familiares tienen más familiares que yo.
-Aquellos a quienes sigo en twitter tienen más seguidores que yo.
-Los blogs en los que comento reciben más comentarios que el mío.
-Los escritores que leo tienen más lectores que yo.

Después del escarnio propio, veamos el lado reconfortante. Si bien es cierto que, en media, mis amigos tienen más amigos, no es cierto que la mayoría de mis amigos tengan más amigos que yo. Ocurre muy a menudo que son esos pocos amigos muy populares los que hacen subir la media. En nuestro ejemplo vemos que la mayoría de los amigos de cualquiera de las personas de 1 a 9 tienen tantos amigos como ella, mientras que solo uno (el 10) tiene más.

Si nos tomamos la molestia de repetir las operaciones con el grupo de la figura veremos que la media de amigos es 2,85, mientras que la media de amigos de los amigos es 3,39. Sin embargo, para la gran mayoría de los 20 del grupo se cumple que el número de amistades con más amigos que uno mismo es una minoría.

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Hace tres años en el blog: O ano da morte de José Saramago.
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miércoles, 16 de agosto de 2017

Al monte se va con botas. La paradoja de Moore.

Nos recuerda Jesús, en su barco, la paradoja de Moore. Hela aquí en sus términos:

Considérense estas dos proposiciones, "Grecia saldrá del euro antes de 2015" y "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro antes de 2012". ¿Son estas dos proposiciones lógicamente contradictorias? No, porque AMBAS pueden ser verdaderas a la vez. En cambio, supongamos que Solbes dice "Grecia saldrá del euro antes de 2015, pero yo creo que no". Esto sí que suena a paradoja, o sea, a autocontradicción, ¿verdad? Pero, ¿Cómo puede uno cometer una contradicción afirmando dos proposiciones que no son contradictorias?

Esta es mi contestación:

Querer manejar saberes y creencias con solo lógica proposicional nos lleva a eso. Al monte se va con botas, y para manejar creencias hacen falta más cosas. Hay varias maneras, uno puede definir varios operadores, uno que signifique "saber" y otro "creer", con axiomas distintos, pero eso es en general bastante insatisfactorio. En alguna parte debería entrar la incertidumbre que separe creencias de saberes. Si no, acaban siendo lo mismo y entonces las dos proposiciones primeras sí son contradictorias. Una vez que introducimos incertidumbre tenemos probabilidades y todo lo que eso conlleva (en particular el no liarse con la lógica proposicional para hacerle decir lo que no dice).

Una manera (no la única) de tener un modelo formal del asunto sería lo siguiente:

Ejemplo bayesiano de modelización: Antes de tener ninguna información, Grecia saldrá del euro o no con probabilidades 1/3, 2/3, respectivamente. En estas condiciones Sobes cree que no saldrá (la probabilidad es mayor).

Ahora puede haber una información que indique que la situación de Grecia es peor de lo que se pensaba, de manera que la probabilidad de que salga del euro antes de esa fecha es del 100%, pero Solbes ignora esa nueva información. Claramente se cumple que "Grecia saldrá del euro..." y que "Solbes cree que Grecia no saldrá del euro...".

En cambio, si Solbes dice "Grecia saldrá ... y yo creo que Grecia no saldrá..." estará incurriendo en contradicción, pues si tiene información para afirmar lo primero no puede afirmar también lo segundo. Por lo menos, no para cualquier sentido razonable que asignemos a esas proposiciones.

El verdadero problema es el de buscar una manera interesante y rigurosa de definir "saber" y "creer". Sostengo que esa manera interesante debe incluir considerar probabilidades y que todas las discusiones desde la lógica proposicional que las ignore están abocadas a la confusión. Una vez tengamos esto podremos resolver la paradoja. También podremos tener definiciones que la mantengan, pero tal vez no sean las interesantes.

martes, 15 de agosto de 2017

Atrevida ignorancia


Una alumna me llama la atención por el artículo en El País sobre el anumerismo. Entre otras cosas se citan varios ejemplos de cómo el analfabetismo numérico nos puede hacer tomar malas decisiones. En particular se trata el famoso caso de las tres puertas, conocido como el problema de Monty Hall. Aquí lo expliqué con cierto detalle.

No interesa repetirlo ahora. Basta con decir que la respuesta al problema es una, mientras que la que parece intuitiva a la inmensa mayoría de la gente es otra. Hasta aquí todo bien, una paradoja más. Lo curioso es que el artículo de El País tiene más de 600 comentarios, la mayoría discusiones en torno a qué respuesta es la buena.

Llegados a este punto, uno (yo) no sabe qué pensar. Razonar una respuesta en ese problema requiere unos conocimientos mínimos de probabilidades. Quienes intentan razonar la respuesta intuitiva no tienen tales conocimientos. Si los tuvieran, habrían entendido la explicación correcta. Es más, lo más seguro es que ya la conocerían, puesto que el problema es un clásico en probabilidad y se enseña en todas partes. Así las cosas, ¿por qué tanta gente razona, hasta enfadada y con malas palabras, que la respuesta buena es la equivocada?

1. ¿Acaso no saben que sus conocimientos de probabilidad son muy limitados? (Atrevida ignorancia).

2. ¿Acaso creen que todos los que sí saben de probabilidad están engañados?

3. ¿Por qué no dedican unos segundos a buscar en google algo sobre el tema? Les hará ver, por lo menos, que los que se empeñan en mostrarles la solución correcta en los comentarios de El País no son unos locos que pasaban por ahí.

4. ¿Son gente a la que les importa un bledo la respuesta y solo quieren llamar la atención?

5. ¿Alguna otra sugerencia?

lunes, 14 de agosto de 2017

Qué no dice el teorema de Gödel


En la entrada anterior repasaba el teorema de Gödel. Conviene saber lo que dice para entender lo que no dice. Esto último es especialmente importante porque se han querido extrapolar conclusiones que no se siguen. He aquí un par de ejemplos.

1. El teorema de Gödel no dice nada acerca de la superioridad de la mente humana respecto a la posible inteligencia artificial.

Quien afirma lo contrario (el propio Gödel parece que iba por ahí) parte de la observación de que un sistema formal lo suficientemente potente es por fuerza incompleto. Se puede proponer un sistema formal superior, que incluya como axiomas las verdades no demostrables dentro del primero, pero el nuevo sistema seguirá siendo incompleto. Con todo, este "saltar del sistema" es un proceso que permite mejorar los sistemas. La mente humana, según este planteamiento, podría "saltar" indefinidamente.

El argumento anterior es falaz por dos razones. Por una parte, no habría problemas para aceptar que una máquina pueda saltar de un sistema a otro. Por otra, la mente humana es finita y nunca podrá saltar indefinidamente de un sistema a otro. Es más, saltar indefinidamente no consigue tampoco llegar a ningún sistema completo. Simplemente se salta indefinidamente.

2. El teorema de Gödel no establece un dominio de la realidad que sea inaccesible a la mente humana.

Hay dos problemas históricos en la filosofía de la ciencia o del conocimiento. El primero es el problema de la realidad exterior: ¿existe? ¿es como se nos aparece? La ciencia no trata este tema ni, como se suele afirmar, lo supone a priori. Simplemente se dedica a dar cuenta de las regularidades que se nos aparecen en esta acaso apariencia de realidad exterior. Que haya tales regularidades no es ningún fundamente metafísico de la ciencia sino una constatación empírica.

El segundo problema es el de las otras mentes. No tenemos acceso al mundo de sensaciones, sentimientos, pensamientos,... que ocurren en las otras mentes. Ni siquiera tenemos constancia de que existan las otras mentes. Para esto último tenemos el test de Turing: las otras mentes lo pasan sin problema. Para saber de sensaciones y pensamientos no tenemos nada más que la posible empatía por pertenecer a la misma especie.

Quienes ven en el teorema de Gödel un nuevo límite a nuestro conocimiento de la realidad confunden el modelo con la realidad. Si la realidad es finita, por ejemplo, inmediatamente tenemos que no responde a los supuestos del teorema de Gödel y nada de lo que dice el teorema se aplica en ella.

Un  momento, dirá alguno, el sistema formal de las matemáticas está dentro de la realidad y, por tanto, todo lo que pase en ese modelo será parte de la realidad. Sí y no. Sí en un sentido débil, digamos. Es una parte de la realidad que podríamos decir creamos los seres inteligentes. No en un sentido fuerte, puesto que las matemáticas no son nada creado de verdad. Es decir, no hay nuevas partículas elementales, por ejemplo. Lo que hay es un juego inventado, un deducir cosas de acuerdo con unas reglas. Ocurre simplemente que con ciertas reglas no se puede llegar a establecer un valor de verdad a ciertas posiciones del juego. Que ese juego nos sirva a los mortales para interpretar cosas de la realidad es algo ajeno a la realidad.

Pero tampoco dice que no podamos entender la realidad, puesto que incluso si fuera pequeña, finita y abarcable al ser humano podríamos seguir construyendo modelos formales con teoremas de Gödel. Así que el problema que pueda plantear el teorema no es sobre la realidad, sino sobre las reglas deductivas, que no llegan a construir según qué enunciados.

¿Cómo cabe un sistema formal que contienen los números naturales, que son infinitos, en un mundo finito?

Sólo el darse cuenta de lo anterior debería ser suficiente para mostrar que los números naturales (así como los sistemas que los contienen) no existen más que como construcción nuestra y ciertamente nunca los construiremos todos. Solo tenemos como prueba de su existencia el que podemos mostrar que la existencia de cada uno de ellos se deduce recursivamente, no porque los hayamos escritos todos. Es la potencia del argumento recursivo lo que se limita en el teorema de Gödel, nada más. Las verdades de la ciencia siguen siendo las mismas, las establecidas empíricamente.

domingo, 13 de agosto de 2017

Qué dice el teorema de Gödel


Euclides basó toda la geometría griega en cinco postulados:

1. Por dos puntos solo pasa una recta.
2. Un segmento se puede prolongar indefinidamente.
3. Dados un punto y un radio, solo se puede trazar una circunferencia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales.
5. Por un punto exterior a una recta sólo pasa una paralela.

Durante mucho tiempo se pensó que el quinto postulado era superfluo, y que debería poderse deducir de los anteriores. Hoy sabemos que es necesario para definir la geometría plana. Con un quinto postulado que diga que no hay ninguna paralela tendremos la geometría esférica (cerrada) y con uno que diga que hay más de una tenemos la geometría hiperbólica (abierta).

Una geometría con solo los primeros cuatro postulados es incompleta. La pregunta que sigue es sugerente: ¿Podemos saber si la geometría con los cinco postulados es completa? Es decir, ¿no será posible que en algún momento haya una proposición que no se pueda deducir (como cualquier versión del quinto postulado a partir de los cuatro anteriores) y que deba añadirse a la lisa de postulados? En ese caso, la geometría se dividiría otra vez, según se afirme o se niegue esa proposición.

La respuesta de Gödel es inquietante: Cualquier sistema formal consistente (que no contenga contradicciones) que permita describir la aritmética será necesariamente incompleto. Siempre habrá afirmaciones que se puedan expresar en el lenguaje del sistema cuya veracidad o falsedad no se puedan demostrar en ese sistema.

Demostrar una afirmación (o su negación) significa que, manipulando los símbolos del sistema según sus reglas, se puede construir tal afirmación (o su negación). Podría ser posible demostrar esa afirmación (o su negación) en otro sistema formal, pero ese otro sistema tendría, según el teorema, sus propias proposiciones indemostrables dentro de él.

Gödel demuestra su teorema haciendo ver que en un sistema formal T que reúna las características pedidas es posible enunciar una proposición X que diga lo siguiente: "La proposición X no es demostrable dentro del sistema T". Si la proposición X fuera demostrable, tendríamos una contradicción (sería demostrable porque la hemos demostrado, y no demostrable porque es lo que dice la proposición). Pero como no es demostrable, la proposición es cierta, porque dice justamente eso.

El teorema de Gödel dice, entonces, un par de cosas más. La primera es que existen proposiciones ciertas cuya veracidad no es demostrable dentro del sistema. La segunda es que hay que distinguir entre proposiciones bien construidas dentro de un sistema (las que se demuestran) y verdades deducidas fuera del sistema.

La veracidad de la proposición X se ha establecido fuera del sistema T. Se suele referir a esto como "saltar del sistema". Podemos ahora añadir esa proposición X al conjunto de axiomas del sistema T, pero entonces el sistema se habrá convertido en otro sistema, el T', que tendrá su propia proposición indecidible (indemostrable) X' que dirá "X' no puede demostrarse dentro del sistema T'.

Así pues tenemos que los sistemas formales que puedan describir los números serán necesariamente incompletos. Habrá proposiciones indecidibles. Las matemáticas no pueden ser completas.

No es el caso de la geometría euclidiana, que puede axiomatizarse para ser completa.

sábado, 12 de agosto de 2017

Resuelto el enigma de la isla de los fidelios


En la entrada anterior planteaba el caso de la isla de los fidelios. Para entender las razones de lo allí ocurrido conviene plantearse un caso más sencillo, que es siempre buen consejo para resolver problemas difíciles.

Pongamos que solo hubiera un hombre infiel. Tendríamos 49 mujeres que sabrían que el marido de la número 50 le era infiel, mientras que la mujer número 50 sabría que los 49 hombres que no son su marido son fieles a sus esposas. Si en esta situación llega el misionero y anuncia que hay al menos un hombre infiel, esta mujer número 50 deberá concluir que su marido es el infiel. Lo mataría esa noche y al día siguiente aparecería en el periódico de la isla.

Pongamos ahora que hubiera dos hombres infieles. 48 mujeres sabrían de dos hombres infieles y dos mujeres sabrían de un hombre infiel. Cada una de estas dos mujeres pensará que si su marido es fiel, la otra no estaría viendo ningún hombre infiel, así que, según el caso anterior, deberá matarlo tras el sermón del misionero. Como no lo hace y no aparece la noticia al día siguiente sólo puede ser porque está esperando a ver qué hace la otra y eso es porque ve un hombre infiel, así que estas dos mujeres matan a sus maridos la segunda noche.

Podemos seguir con tres, cuatro, ... cincuenta hombres infieles y el resultado es siempre así: si hay X hombres infieles morirán la noche número X.

¿Por qué hay que esperar a que el misionero diga nada, si ya se sabía que había hombres fieles?

Esto es un poco más sutil de entender. En el caso de un hombre infiel está claro que no todas las mujeres sabían que "hay al menos un hombre infiel" y entonces está claro que añade una información importante.

¿Qué pasa si hay dos hombres infieles? Es cierto que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel", pero ocurre que hay dos mujeres que no saben que todas las mujeres saben que "hay al menos un hombre infiel". Son las parejas de los dos hombres infieles, sean las números 49 y 50. La 49 no sabe que la 50 sabe que "hay al menos un hombre infiel" y eso sigue así hasta que llega el misionero con su sermón. Sólo en ese momento puede empezar el razonamiento si no lo mata el primer día.

Cuando hay 50 hombres infieles todas saben que todas saben que todas saben (así hasta 49 veces) que "hay al menos un hombre infiel", pero no saben que todas saben que todas saben (así hasta 50 veces) que "hay al menos un hombre infiel".

El saber que todos saben que todos saben (así todas las veces que uno quiera) una proposición K es lo que se llama "conocimiento común" de la proposición K. El ejemplo de la isla de los fidelios debe dejar clara la necesidad de que ciertas cosas sean de conocimiento común para poder tomar decisiones.

Aquí hay otro ejemplo interesante.

viernes, 11 de agosto de 2017

La isla de los fidelios


En la isla de los fidelios habitan 50 parejas heterosexuales. Aislada del resto del mundo, tienen una curiosa ley: toda mujer que sepa que su pareja le es infiel debe matarla esa misma noche. La ley es tan tajante como aceptada por todas las mujeres, de manera que cada una de ellas no solo sería capaz de matar a su marido infiel sino que querría hacerlo. El periódico de la isla tiene la obligación de informar cada día del número de maridos muertos la noche anterior.

Como en cada pequeña población cada cual sabe todo sobre los demás, pero no necesariamente sabe todo lo que le afecta a uno mismo. En particular, cada mujer sabe si la pareja de cada una de las demás es infiel o no, pero no sabe si la suya lo es.

En esta situación llevan viviendo sin que la ley se haya tenido que aplicar nunca.

Un día llega un misionero a la isla. Enseguida se entera de la situación de la isla y oye en confesión ciertas cosas que le llevan a decir lo siguiente en el sermón del domingo:
-"Habitantes de Fidelia. He sabido, para mi desmayo, que en esta isla aparentemente feliz se esconde el pecado. Hay por lo menos un hombre infiel. Esto debe terminar."
Cincuenta días después se lee en el periódico de la isla que cincuenta maridos han muerto a manos de sus mujeres la noche anterior.

¿Por qué? ¿Cómo supo cada mujer que su marido era infiel? ¿Por qué no lo supieron antes? ¿Qué ha hecho el sermón del misionero?

jueves, 10 de agosto de 2017

Paternalismo y adoctrinamiento (2)



En la entrada anterior planteaba el siguiente problema:

¿Es posible rechazar racionalmente el adoctrinamiento?

Si, como proponía en la entrada, deben respetarse las preferencias del mayor de edad, y este, adoctrinado, prefiere que lo hayan adoctrinado, con este criterio no puede decirse nada en contra. ¿Cómo se podría convencer a una sociedad de personas adoctrinadas para que dejen de adoctrinar a sus menores?

Tal como está planteado el problema, no le veo solución. La sociedad adoctrinada creerá que es un error no adoctrinar, mientras que la no adoctrinada verá el error en la otra.

La clave está en que las sociedades no son como en ese planteamiento. Ocurrirá, como nos advertía Hugo, que el adoctrinamiento nunca es 100% efectivo. Elaborando sobre esta circunstancia, podemos fácilmente pensar que, aunque la mayoría de adoctrinados quiera el adoctrinamiento y la mayoría de no adoctrinados prefiera el no adoctrinamiento, seguramente suceda que haya un porcentaje mayor adoctrinados que se rebelan que de no adoctrinados que abrazan voluntariamente el adoctrinamiento.

Si eso es así, existirá una dinámica social que, a medio o largo plazo erosionará la aceptación del adoctrinamiento. Muchas circunstancias pueden afectar a la rebelión frente al adoctrinamiento. La comparación entre modos de vida puede favorecer a las sociedades con menos adoctrinamiento. En ese caso el acceso a esta información favorecerá la rebelión. Si el adoctrinamiento va en contra de aspectos importantes de la naturaleza humana (p.e., que separe a los hijos de sus padres), se empeña en afirmaciones que la ciencia contradice o produce un estancamiento de la sociedad será más fácil que la sociedad adoctrinada esté peor que la no adoctrinada.

Así, pues, la solución al problema no es un razonamiento apriorístico que permita establecer el error lógico del adoctrinamiento, sino una evidencia empírica de que los seres humanos vivimos mejor sin él.

miércoles, 9 de agosto de 2017

Paternalismo y adoctrinamiento


Podemos definir el paternalismo como la toma de decisiones del padre o la madre por el menor de edad. En términos más amplios puede extenderse a las decisiones del Estado por el individuo, pero no hablaré de estas ahora. No compete al padre cualquier decisión. Hay problemas de variada índole en las que se deja al menor la potestad o en las que, por lo menos, se pide su opinión. Así, el consentimiento para tener relaciones sexuales, para casarse, para ser sometido a una operación de riesgo, para abortar, para ser custodiado por el padre o la madre, etc. puede otorgarse a edades más tempranas.

El criterio para dilucidar qué decisiones se deja al menor y a qué edad debe ser siempre el interés del menor, pero ¿cómo decidir esto? Si le preguntamos al menor si quiere decidir sobre tal o cual tema, normalmente dirá que sí a casi todos. La clave puede estar en quién tendrá unas preferencias más parecidas al menor de edad, si él mismo cuando llegue a la mayoría de edad o el progenitor en este momento.

Seguramente la persona a los dieciocho años querrá haber tenido una educación adecuada y haber recibido las vacunas y otros cuidados médicos a los que, de haberle preguntado en su momento, se habría negado. En estos casos es mejor dejar las decisiones a los padres, incluso desde la perspectiva de la persona de dieciocho años, que se alegrará de que no le hayan permitido decidir de pequeño.

En casos como los arriba expuestos, es más normal que el individuo de dieciocho años tenga preferencias más parecidas al de, por ejemplo, dieciséis. Eso justificaría permitir la decisión al menor de esa edad, que será lo que habrá querido cuando tenga los dieciocho.

La experiencia en trabajos con adolescentes en esas edades, las encuestas que puedan realizarse, la opinión de los expertos,... pueden ayudad a decidir si, efectivamente un tipo de problema se resuelve mejor permitiendo tomar la decisión al menor o a los padres.

Hay, sin embargo, una circunstancia en la que es imposible dilucidar de esta manera las cosas. Se trata del adoctrinamiento. Si las decisiones de los padres incluyen la posibilidad de adoctrinar o no al menor podemos fácilmente tener la situación siguiente:

-Por una parte, las preferencias del menor sin adoctrinar son más cercanas a las de esa misma persona al llegar a la mayoría de edad que a las de los padres que desean el adoctrinamiento.

-Por otra parte, las preferencias de la persona de dieciocho años adoctrinada son más cercanas a las de los padres adoctrinadores que a las del menor sin adoctrinar.

En la situación así descrita no es posible definir qué es lo mejor desde el punto de vista de la persona de dieciocho años. La adoctrinada prefiere haber sido adoctrinada y la no adoctrinada prefiere no haberlo sido.

¿Es posible resolver esta cuestión? Aquí una posible respuesta.

martes, 8 de agosto de 2017

¿Dónde están las llaves?


Es muy conocido el chiste de aquel que pierde las llaves y las busca al pie de la farola porque es ahí donde hay luz. Normalmente se usa esta historia para enfatizar la necesidad de indagar nuevas maneras de solucionar problemas. Podemos buscar con las manos en la oscuridad o podemos intentar llevar luz allá donde no la hay. No negaré yo esto.

Pero sí que hay veces en que eso es lo único (y lo mejor) que podemos hacer. Si estimo que las llaves están con una probabilidad del 10% debajo de la farola y con un 90% de probabilidad en la oscuridad y si la probabilidad de encontrarla si están debajo de la farola y miramos ahí es del 100% y la probabilidad de encontrarlas en la oscuridad es del 1%, tiene todo el sentido del mundo empezar a mirar bajo la farola. La probabilidad de encontrarla ahí es el 10% (el 10% del 100%), mientras que la probabilidad de encontrarla en la oscuridad es del 0,9% (el 1% del 90%).

¿A qué viene esto? A nada especial. A que no me gusta aceptar como verdades frases hechas que, por mucha sabiduría que encierren, no son ciertas siempre y a que me gusta saber cuándo dicen algo sensato y cuando no.

lunes, 7 de agosto de 2017

¿Se puede elegir un número al azar?


O, dicho con más precisión: ¿es posible elegir un número al azar de manera que cada número tenga las mismas probabilidades de salir?

Si tengo un número finito de números, sí es posible. Cada uno puede ser elegido con probabilidad 1/n, donde "n" es el número de números que tengo. Puedo elegir entre 2, 4 y 8 (tres números) cada uno con probabilidad 1/3.

Si tengo un número infinito ya no es posible. No hay manera de elegir entre los números naturales 0, 1, 2, 3,.... de manera equiprobable. Si así fuera, no podría ser una probabilidad positiva, porque, al multiplicarla por infinitos números, daría infinito, y la probabilidad total debe sumar uno. No puede ser cero, porque, multiplicado por infinito no me da nada definido (no está definida la operación), y debería dar uno y no otra cosa.

Cuando, en la entrada anterior, Bruno suponía (era un suponer) que en su sobre había un 4 y asignaba las mismas probabilidades a que el otro sobre hubiera un 2 o un 8 no cometía ningún error. Eso podía ser perfectamente posible. Pero suponer que el mismo razonamiento lo podía hacer con cualquier otro número (que el otro sobre tuviera la mitad o el doble con iguales probabilidades) es ya imposible.

Si supone que, para cualquier número, la probabilidades de que el otro sobre tenga el doble o la mitad son iguales está suponiendo que las probabilidades de los números ... 1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8, 16,... son idénticas, y eso no puede ser.

¿Qué tipo de probabilidades son posibles? Por ejemplo, asignar probabilidad 1/2 a 1, 1/4 a 2, 1/8 a 1/2, 1/16 a 4, 1/32 a 1/4, 1/64 a 8, 1/128 a 1/8,.... Esa, o cualquier otra cuyas probabilidades sumen 1.

No es difícil demostrar que, con cualquier distribución de probabilidades, la ganancia esperada de cambiar es exactamente la misma que de no cambiar. Podéis ver ejemplos sencillos en los últimos comentarios de Pedro Terán en la entrada anterior. También podéis leer mi explicación de hace unos años en una página de matemáticas recreativas.

domingo, 6 de agosto de 2017

¿Cambiamos sobres?


Silvia decide dar un premio a su amigo Bruno, y lo hace de la siguiente manera. Hay dos sobres, uno con el doble de dinero del otro. Para simplificar, pongamos que las cantidades pueden ser potencias de dos: …1/16, 1/8, 1/4, 1/2, 1, 2, 4, 8,…

Bruno elije uno de los dos sobres y se dispone a ver su premio, cuando Silvia lo para y le da la oportunidad de cambiar. Bruno, en un primer momento ve esto absurdo. ¿Qué más dará un sobre que otro? Pero, luego, reflexiona de la siguiente manera:
“Si mi sobre tiene, digamos, 4 euros, el otro puede tener 8 o 2, que en media me da un número mayor, 5. Y lo mismo pasa con cualquier otra cantidad. ¡Vaya, vaya! Después de todo no es tan mala idea cambiar.”
¿Debe cambiar o es un absurdo? ¿Por qué?

La clave está en el porqué. Todos podemos tener una idea clara de cuál es la respuesta correcta, pero tal vez no sepamos decir exactamente la razón. De eso se trata en este acertijo, de dar buenas razones para tomar buenas decisiones.

sábado, 5 de agosto de 2017

No viajes sin la media armónica



Un tren va de Madrid a Barcelona, que están separadas por 600 km. Hasta Zaragoza, exactamente a la mitad del trayecto, va a 100 km/h y después acelera hasta 300 km/h. Otro tren sale de Barcelona a Madrid y va a 200 km/h. ¿Cuál llegará antes a su destino?

A bote pronto parece que llegarían igual, ¿no es acaso 200 la media entre 100 y 300? Un sencillo cálculo, sin embargo, nos dice que el primer tren tardará cuatro horas (tres hasta Zaragoza y una más hasta Barcelona) mientras que el segundo tardará solamente tres.

Esto nos abre dos cuestiones de interés:

1. ¿A qué velocidad constante debe ir el segundo tren para tardar lo mismo que el primero? La respuesta es dividir 600 km entre 4 horas, naturalmente, y eso da 150 km/h. Quien sepa sumar y dividir fracciones podrá ver fácilmente que esos 150 son la media armónica entre 100 y 300.

2. Esta confusión entre media aritmética y media armónica es especialmente peligrosa cuando se viaja. Uno va de A a B y se encuentra con tráfico denso durante la mitad del camino. Luego quiere recuperar el tiempo en la segunda mitad. Si pensábamos ir a una media de 120 y hemos ido solo a 100, no basta con ir luego a 140, habrá que ir bastante más rápido para compensar, y eso es fuente de inquietud y estrés, pues uno va a 140 y ve que no se cumple su plan. Mejor no hacer esos planes compensatorios, nos dice la media armónica.

Un turista tiene 600 euros y llega al país X, cuya moneda es el Peso. Primero cambia 300 euros a un tipo de cambio de 1 euro por 1 peso. Cuando va a cambiar los otros 300 resulta que le cambian a 3 euros por 1 peso (cosas de las fluctuaciones de los mercados de divisas). El turista hace un cálculo rápido y estima que el cambio medio que ha tenido es de 2 euros por 1 peso. Craso error, el cambio medio es la media armónica, no la aritmética, y es de 1,5 euros por 1 peso. Los cálculos son los mismos que los del ejemplo del tren.

Moraleja: Si vas a viajar no te olvides de la media armónica.

P.D.: Como siempre, lamentablemente, mejor en la wiki en inglés, llena de ejemplos.

viernes, 4 de agosto de 2017

Las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres


En la academia de pilotos Volare llevan las cosas manu militari. Los alumnos empiezan de cero y van aprendiendo, con sus altos y bajos. Al nuevo director se le ocurrió la idea de hacer un estudio para saber si un sistema de incentivos basado en premios es más efectivo que uno basado en castigos, de manera que dividió a los alumnos en dos grupos.

Cuando un alumno del primer grupo hace las cosas especialmente bien, recibe un premio; cuando uno del segundo grupo hace las cosas especialmente mal, recibe un castigo. Al cabo de unas semanas dispone de los siguientes datos:

  • La gran mayoría de los alumnos que reciben un premio suelen hacer las cosas peor en los días siguientes.
  • La gran mayoría de los alumnos que reciben un castigo suelen hacer las cosas mejor en los días siguientes.
Con estos datos en la mano, el director concluye que el método del castigo es el adecuado.

¿Tiene razón? ¿Por qué? ¿Quién dijo aquello de que las mujeres brillantes se casan con hombres mediocres? ¿Qué tiene esto que ver con el experimento del director de la academia Volare?

jueves, 3 de agosto de 2017

Pulpo fiction


Anda por un acuario alemán un pulpo que adivina los resultados del Mundial de Fútbol y que hizo lo propio con los de la pasada Eurocopa. En realidad, no es tanto así. Solo se le pregunta por Alemania (y ahora también por la final) y, además, en la Eurocopa acertó cuatro y falló dos, un resultado bastante pobre.

En la Copa del Mundo actual, lleva seis aciertos de seis intentos. Acertar por azar un resultado así ocurre una vez cada 64. Si no hay un azar completo, la probabilidad de acertar puede ser mucho mayor.

Alemania es una selección potente, que gana el 70% de sus partidos. Un proceso que dé siempre ganadora a Alemania acertará el 70% de las veces. Un proceso que dé ganadora a Alemania el 90% de las veces, acertará el 70% de ese 90%, es decir, el 63%, más el 30% del 10% restante, un 3%. En total, acertará el 66% de las veces. Acertar seis veces seguidas en estas condiciones ocurrirá 8,3 veces de cada cien o, en otros términos, una vez cada doce veces que se intente.

¿Cómo es el proceso de elección del pulpo Paul? No lo sé, pero podemos imaginar fácilmente procesos que eligen con mucha probabilidad a Alemania. Por ejemplo, si la bandera de Alemania está la mayoría de las veces en la urna de la derecha y el pulpo tiende a ir a la derecha. O si le gusta más la bandera alemana (por casualidad empezó por ella y encontró allí un mejillón, sin saber que lo hay en las dos urnas o le gustan esos colores). O si entra en juego el efecto Clever Hans. O si es cualquier otra cosa de este estilo o una mezcla de varias.

Pero todavía hay más. En toda competición de gran audiencia mundial como esta aparecen siempre adivinos (personas, animales o cosas). Si se puede acertar una serie de resultados por azar un vez de cada 12, ocurrirá que, de cada 12 procesos de adivinación parecidos a los del pulpo, uno de ellos acertará. Por supuesto, solo tenemos noticias de los que aciertan. He aquí mi predicción de adivino: Hay por el mundo 11 pulpos (o perros, o vacas, o astrólogos,…) que no aciertan por cada pulpo (o perro,…) que lo hace.

Esto ocurre siempre y es trivial. ¿Cómo era eso de que no es noticia que un perro muerda a una persona, pero sí lo era que una persona mordiera a un perro?

miércoles, 2 de agosto de 2017

La torre herida por el rayo (3). Una inquietud de Wittgenstein.



Sigo aquí la serie de paradojas que se diluyen cuando se entiende que son del tipo “¿qué pasa si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible?” como en estas dos entradas anteriores.

Nos recordaba hace unos meses Héctor una cita de Umberto Eco respondiendo a una inquietud de Wittgenstein:

En el libro Decir casi lo mismo de Umberto Eco, página 381:

Wittgenstein se preguntaba qué sucedería si, una vez identificado el efecto que un minueto produce en los oyentes, se pudiera inventar un suero que, debidamente inyectado, ofreciera a las terminaciones nerviosas del cerebro los mismo estímulos producidos por el minueto. Observaba que no se trataría de lo mismo, porque no es el efecto de ese minueto lo que cuenta.

El efecto estético no es una respuesta física o emotiva, sino la invitación a mirar cómo esa respuesta física o emotiva está causada por esa forma en una especie de "vaivén" entre efecto y causa. La apreciación estética no se resuelve en el efecto que experimentamos, sino también en la apreciación de la estrategia textual que lo produce.

Esta apreciación implica, precisamente, también las estrategias estilísticas llevadas a cabo en el nivel de la sustancia. Que es otra manera de indicar, con Jakobson, la autorreflexividad del lenguaje poético.

Esta fue mi respuesta:

"Observaba que no se trataría de lo mismo, porque no es el efecto de ese minueto lo que cuenta."
Si hay más efectos es que no se había reproducido todo el estímulo. 
No se pueden hacer argumentos del tipo "¿qué pasaría si el rayo rompelotodo se encuentra con la torre indestructible?" Ambas cosas no pueden coexistir. Igual que si se supone que se reproducen los estímulos y luego se supone que no se reproducen.

martes, 1 de agosto de 2017

La torre herida por el rayo (2). La paradoja de Newcomb.


Esta vez la discusión fue en el Otto Neurath, magnífico blog de mi amigo y coautor Jesús Zamora (lo digo para presumir). Debatíamos las implicaciones de la paradoja de Newcomb en los conceptos de causalidad y de libre albedrío.

Transcribo (con un poco de edición), la redacción de Jesús Zamora.

“Un ser omnisciente y que siempre dice la verdad nos ofrece dos cajas cerradas, y nos da a elegir entre coger una sola de ellas, o las dos; después de nuestra elección, nos podremos quedar con el contenido de las cajas que hayamos tomado. En la caja A, ha puesto 1000 euros; en la caja B, en cambio, su acción depende de la nuestra: habrá puesto un millón de euros SI ÉL SABE que vamos a coger SÓLO la caja B, y la habrá dejado vacía SI ÉL SABE que vamos a coger la caja A. Naturalmente, nosotros sabemos que el ser nunca se equivoca y que nunca miente.

El problema consiste, por lo tanto, en preguntarnos qué elegir: ¿sólo la caja A?, ¿sólo la caja B?, ¿las dos? Tomar la caja A sólo, es obviamente una tontería. Tomar las dos cajas parece que también lo es: si las tomas, el ser no habrá puesto el millón de euros en la segunda caja. Así que lo racional parece tomar sólo la B. Por otro lado, puesto que en el momento de elegir TÚ la caja, el ser ya ha puesto el dinero en las cajas (sea la cantidad que sea), y entonces, si él ha puesto un millón de euros en la caja B, y tú decides llevártela, no pierdes nada tomando la A también (y te llevas 1000 euros más); así que parece racional llevarse ambas.”

Me interesa deshacer las implicaciones sobre el libre albedrío (que, indirectamente llevan también a deshacer las pretendidas implicaciones sobre el concepto de causalidad). Lo hago resumiendo mis comentarios en esa discusión.

La paradoja se puede resumir en este esquema: La coexistencia de un ser omnisciente y un ser con libre albedrío lleva a un contradicción. Esto plantea tres posibilidades.

(i)    El ser con libre albedrío no puede existir (y esto plantea un problema con el libre albedrío).
(ii)  El ser omnisciente no puede existir (y esto plantea un problema con el ser omnisciente).
(iii) El argumento que muestra la contradicción expresada en la paradoja es falaz.

El argumento sobre la posibilidad de que el ser omnisciente pueda poner dinero en dos estados cuánticos superpuestos parece encontrar una falacia en la deducción. Sin embargo el enunciado dice claramente que el ser omnisciente pone una cantidad determinada y que él es la causa de esta cantidad. Así que nos quedan los puntos (i) y (ii). No veo por qué la gente se enreda con el (i) cuando el (ii) es lo más obvio.

Como decía en una entrada reciente: ¿Qué pasa si el rayo rompelotodo cae sobre la torre indestructible? Venga, todos a hacer filosofía sobre esto y a sacar consecuencias sobre el mundo. Hay que ver en qué cosas se enredan algunos.

Una nota:

No es posible dar una definición del término “omnisciente” (como no es posible dar una de “omnipotente”, “omnipresente” y otros “omnis”) sin hacer referencia a un conjunto universal, donde esté claro cuáles son todos y cada uno de los elementos que constituyen el todo (omni). No he considerado que este sea el problema con la paradoja porque está claro lo que suponemos que sabe el ser. Podemos reformular la paradoja diciendo que sabe qué caja va a elegir uno y no que es omnisciente, lo que equivaldría a reformular la posibilidad (ii) en el sentido de que el ser que sabe lo que voy a elegir no puede existir.